Partiell, differential algebraische Systeme (kurz PDAEs) bestehen aus partiellen und gewöhnlichen Differentialgleichungen sowie algebraischen Nebenbedingungen. Die räumliche Diskretisierung führt auf ein System von Algebro-Differentialgleichungen (kurz DAEs), das schlechte numerische Eigenschaften besitzt, zum Beispiel kann die Lösung des Systems von Ableitungen der rechte Seite abhängen und die Beschreibung der Anfangswerte kann problematisch sein. Im Rahmen meiner Arbeiten habe ich den Störungsindex für DAEs auf PDAEs erweitert und auf verschiedene parabolische und hyperbolische Probleme (wie z. B. das Modell einer Brennstoffzelle) angewendet.
Die Adaptivität eines Zeitintegrationsverfahrens ist sehr wichtig für dessen Effektivität. Ändert sich die Lösung in einem Bereich nur wenig, können größere Zeitschritte verwendet werden, ändert sich hingegen die Lösung schneller, so sollten kleiner Schritte verwendet werden. Im Rahmen meiner Studien habe ich mich auf linear-implizite und implizite Verfahren konzentriert, die absolut stabil sind, da die Verfahren auf parabolische Probleme wie z. B. die inkompressiblen Navier-Stokes Gleichungen angewendet werden. Hierbei habe ich folgende Klassen von Verfahren untersucht:
Diagonal implizite Runge-Kutta Verfahren: Bei diesen Verfahren müssen in jedem Zeitschritt s nicht-lineare Gleichungssysteme gelöst werden. Dafür haben die Verfahren i. a. Ordnungsreduktion. Ein neu entwickeltes Verfahren ist zum Beispiel das Verfahren DIRK34L.
Rosenbrock-Wanner Verfahren: Die Idee von Rosenbrock--Wanner Verfahren beruht auf der Linearisierung von diagonal implizite Runge-Kutta Verfahren. Zu Stabilitätsgründen werden in die Verfahrensvorschrift weitere Koeffizienten
eingebunden. Somit sind in jedem Zeitschritt s lineare Gleichungssysteme zu lösen, wobei die Verfahrensmtarix konstant ist. Können diese Systeme direkt gelöst werden, ist es ausreichend in jedem Zeitschritt eine LU-Zerlegung durchzuführen und die Gleichungssysteme durch Vorwärts- und Rückwärts Substitution zu lösen. Neue Verfahren sind z. B. ROS3Pw, ROS34PW2 und ROS34PR
Generalised-alpha Verfahren: Diese Verfahrensklasse besteht aus Verfahren von maximal zweiter Ordnung, wobei hier die Lösung und dessen erste und evtl. zweite Ableitung (bei ODEs von zweiter Ordnung) approximiert werden. Im Rahmen meiner Arbeiten habe ich eine Methode entwickelt, wie man mit Hilfe des impliziten Euler Verfahrens und des PI-Controllers eine einfache und effektive Zeitschrittweitenkontrolle realisieren kann.
Es ist bekannt, dass Einschrittverfahren i. a. Ordnungsreduktion haben, wenn sie auf steife Probleme angewendet werden. Einfache Beispiele sind das Problem von Prothero-Robinson und die ein-dimensionale Wärmeleitungsgleichung mit zeitabhängingen Dirichlet Randbedigungen. Im Rahmen meiner Arbeiten habe ich die DIRK und ROW Verfahren auf das Prothero-Robinson Problem angewendet und den numerischen Fehler untersucht. Dadurch erhält man zusätzliche Ordnunsbedingungen. Sind diese erfüllt reduziert sich die Ordnungsreduktion deutlich.
Messreihen meteorologischer Stationen sind in der Regel lückenbehaftet. Diese Lücken entstehen z. B. durch Ausfälle der Messtechnik. Zur Beantwortung zahlreicher Fragestellungen in der Ökosystemforschung sind aber lüuckenlose Klimadaten erforderlich. Das gilt insbesondere für die Evapotranspirationsberechnung oder die Wasserhaushaltssimulation. Im Rahmen einer Kooperation mit der FAWF und der Firma UDATA wurden zahlreiche mathematische Approximationsverfahren untersucht und es entstand die Software Meteodata.
Eine der großen Herausforderungen auf dem Gebiet des Wissenschaftlichen Rechnen ist die numerische Simulation komplexer gekoppelter Prozesse, wie z. B. die Wechselwirkung von Fluid und Struktur. Oft werden diese Probleme mit Hilfe partionierter Verfahren gelöst, d.h. die beiden Teilaufgaben werden mit verschiedenen Programmen bearbeitet, da jedes Teilproblem mit einem effizienten Diskretisierungschema in Raum und Zeit gelöst werden kann. Diese Vorgehensweise hat den Vorteil, dass bestehende Software weiter verwendet werden kann. Im Rahmen meiner Arbeiten habe ich mit Fragen der software-technischen Realisierung, Parallelisierung sowie der numerischen Stabilität beschäftigt.
Im Bereich der stochastischen Differentialgleichungen interessiere ich mich für stochastische Galerkinverfahren. Diese Verfahren führen auf ein gekoppeltes System, das mit einem partionierten Ansatz gelöst werden kann.