Gliederung

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Analysis II -- Funktionen in mehreren Veränderlichen

Kapitel 1: Differentiation

1.1 Reelle Funktionen mehrerer Veränderlicher

    Definition: f: D -> R wobei D Teilmenge des R^n
    Beispiele im R^2 Bild 1 als pdf /Bilder als pdf
    Definition: Niveaumengen/-hyperflächen Bild als pdf
    Beispiele im R^2
    Definition: r-Umgebung eines Punktes
    BeispieleDefinition: innerer Punkt/Randpunkt einer MengeBeispieleDefinition: offene/abgeschlossene MengeVeranschaulichung
    BeispieleDefinition: beschränkte MengeBeispiele Definition: Grenzwert
    Definition: Stetigkeit
    Rechenregeln gelten wie bekannt
    Beispiel
    Satz vom Minimum und Maximum
    Definition: partielle Ableitung
    Beispiele
    Gradient
    Folie zur Veranschaulichung
    Beispiel
    Definition: k-mal partiell differenzierbar
    Satz von Schwarz über die Vertauschbarkeit partieller Ableitungen
    Beispiel
    Definition: lokales/globales Maximum/Minimum
    Notwendige Bedingung für lokales Extremum
    Definition: stationärere Punkt
    Beispiele
    Definition: Hesse-Matrix
    Wiederholung: Eigenschaften symmetrischer Matrizen
    Extremstellen-Test
    Beispiele
    Einfacher Test auf positive Definitheit im 2x2-Falle
    Definition: total differenzierbar (linear approximierbar)
    Beispiele Bild als pdf
    Kettenregel
    Definition: Richtungsableitung Bild als pdf
    Interpretation der Richtungsableitung
    Gradientenverfahren zur Bestimmung eines Extremwerts
    Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen
    Beispiele
    Lagrange-Multiplikatorregel
    Beispiel
    Beispiel zu Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen

1.2 Vektorwertige Funktionen mehrerer Veränderlicher

    Beispiel
    Stetigkeit
    partiell differenzierbarbar
    Beispiel
    total differenzierbarbar, Funktional-/Jacobi-Matrix
    Beispiele
    Kettenregel
    Beispiel
    Beispiel: starre Drehung Bild als pdf
    Skalarenfeld, Vektorfeld Bild als pdf
    Divergenz Bild als pdf
    Rotation
    Beispiel
    Rechenregel für div, rot, grad

Kapitel 2: Integration

2.1: Kurvenintegrale

    Definition: Kurve
    Beispiele
    Tangentialvektor, Tangenteneinheitsvektor
    reguläre Kurve
    Beispiel
    zusammengesetzte Kurven
    Länge von Kurven
    Beispiele
    Parametertransformation von Kurven
    orientierungstreu/-umkehrend
    Kurvenintegral von Skalarenfeld f längs Kurve phi
    Beispiel
    Kurvenintegral von Vektorfeld v längs der Kurve phi
    Beispiel
    Beispiel
    Kurvenintegrale bei Parametertransformation
    Potential
    zusammenhängender Bereich
    1. Hauptsatz für Kurvenintegrale
    2. Hauptsatz für Kurvenintegrale
    einfach zusammenhängendes Gebiet Folie
    Beispiel

2.2: Integration über ebene Bereiche

    Problemstellung Folie
    Doppelintegral, Flächenelement
    Idee der Integration Folie
    Integration über ein Rechteck
    Beispiel
    Rechenregeln
    Normalbereiche Folie
    Beispiele
    Beispiel in dem D kein Normalbereich ist Folie1 Folie2 Folie3 Folie4
    Zusammenhang Doppelintegral über ein Gebiet - Kurvenintegral über Rand des Gebiets
    Satz von Green
    Beispiele
    Satz von Gauss
    Beispiel
    Transformationsformel
    Idee
    Beispiele

2.3: Integration über Flächen im Raum

    Problemstellung
    Beispiele Folie1 Folie2
    Idee der Integration Folie3 Folie4 Folie5
    Beispiel Oberflächenberechnung
    Flächeninhalt eines Flächenstücks
    Beispiel Kugeloberfläche
    Beispiel Drehfläche allgemein
    Oberflächenintegral einer skalaren Funktion
    Beispiel
    Oberflächenintegral eines Vektorfelds
    Interpretation
    Beispiel
    Satz von Stokes
    Beispiel
    Folien von Herrn Bollhöfer als .pdf

2.4: Integration über dreidimensionale Bereiche

    Problemstellung
    Normalbereiche
    Beispiel
    Transformationsformel
    Beispiel
    Divergenzsatz von Gauss
    Beispiel

Differentialgleichungen

Kapitel 1: Einführung

    Beispiel: Mechanische Schwingungen
    gewöhnliche/partielle Differentialgleichungen
    explizite DGL n-ter Ordnung
    Beispiele
    Anfangswertproblem

Kapitel 2: Differentialgleichungen 1. Ordnung

    Linienelement, Richtungsfeld, Lösungsschar
    1. Richtungsfeldbeispiel als pdf
    2. Richtungsfeldbeispiel als pdf
    Beispiele, die zeigen, dass die Lösung nicht eindeutig sein muss und i.a. nur lokal existiert
    Picard-Lindelöff-Iteration
    Existenz und Eindeutigkeit der Lösung
    Lipschitzbedingung
    Beispiel
    DGL mit getrennten Variablen
    Beispiele
    homogene lineare DGL 1-ter Ordnung
    Beispiel
    homogene lineare DGL 1-ter Ordnung
    Beispiele
    inhomogene lineare DGL 1-ter Ordnung
    Beispiele
    Numerische Lösung mittels Euler-Verfahren
    Skizze zu Eulerverfahren als pdf

Kapitel 3: Lineare DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

    Beispiel
    Definition: Lösungsraum, Fundamentalsystem für lineare homogene DGL 2.ter Ordnung
    Beispiel
    Komplexifizierung
    Beispiele
    Bestimmung der Lösung mittels charakteristischer Gleichung
    Lösungsansätze für inhomogene lineare DGL 2.ter Ordnung
    Variation der Konstanten
    Beispiel
    Ansatz vom Typ der rechten Seite
    Beispiel
    Wiederholung am Beispiel des linearen gedämpften Schwingers, Folie1.pdf Folie2.pdf Folie3.pdf Folie4.pdf Folie5.pdf Folie6.pdf Folie7.pdf Folie8.pdf
    Beispiel zu Ansatz vom Typ der rechten Seite

Kapitel 4: (Lineare) Systeme von Differentialgleichungen 1. Ordnung

    Beispiel
    Zusammenhang DGL n-ter Odnung -- System von DGL 1.ter Ordnung
    inhomogene lineares System von DGL 1.ter Ordnung
    Beispiel
    Existenz und Eindeutigkeit der Lösung
    betrachte zunächst homogene lineare Systeme von DGl 1.ter Ordnung
    Definition: Lösungsraum, Fundamentalsystem, Wronski-Determinante
    Beispiel
    Lösungsansatz für inhomogene lineare Systeme von DGl 1.ter Ordnung
    Beispiel

Kapitel 5: Lineare DGL-Systeme mit konstanten Koeffizienten

    Problemstellung homogener Fall: z' = Az
    Beispiel
    Lösungsansatz
    Beispiel
    Symmetrische Matrizen haben reelle Eigenwerte und n linear unabhängige Eigenvektoren!
    Allgemeine Form der Lösung falls A symmetrisch
    Beispiel mit komplexen Eigenwerten
    komplexe Lösung
    reelle Lösung
    Beispiel mit nicht diagonaliserbarer Matrix
    exp(Ax)
    Hauptvektoren
    Beispiel mit Hauptvektoren, exp(Ax)
    Problemstellung inhomogener Fall
    Lösungsvorgehen

Kapitel 6: Potenzreihenansatz

    Problemstellung
    Beispiel
    Begriffe: Potenzreihe, Konvergenzradius
    Cauchysches Quotientenkriterium
    Produkt zweier Potenzreihen
    Taylorreihe
    allgemeinere Problemstellung
    Beispiel mit AWP bei 0
    Beispiel mit AWP bei 1
    singulärer Punkt/Singularität der DGL
    reguläre Singularität
    Indexgleichung
    Beispiel

Kapitel 7: Exakte DGL

    Problemstellung: DGL 1ter Ordnung
    Beispiele
    exakte DGL
    Beispiele
    Zusammenhang zu Potentialen
    nicht exakte DGL und integrierender Faktor
    Beispiele
    diverse Ansätze
    Beispiele

Kapitel 8: Laplace-Transformation