Frederik Fahrendorf M.Sc.
f.fahrendorf(at)tu-braunschweig.de
Im Rahmen eines Teilprojekts des Schwerpunktprogramms SPP 1748 der Deutschen Forschungsgemeinschaft (DFG) arbeiten wir an der Entwicklung von effizienten Berechnungsmethoden für das Verfahren der Isogeometrischen Analyse (IGA). IGA ist eine kürzlich entwickelte Methode zur Diskretisierung von partiellen Differentialgleichungen. Hierbei werden im Gegengesatz zur klassischen Finite Elemente Methode (FEM) glatte Basisfunktionen verwendet, die auch häufig in Computer Aided Design (CAD) Software zum Einsatz kommen. Dadurch wird eine exakte Beschreibung der Geometrie im Analysemodell sichergestellt. Darüber hinaus bietet die IGA weitere Vorteile, wie z.B. eine höherere Kontinuität und Regularität der Basisfunktionen im Vergleich zu konventionellen C0 FEM.
Allerdings ist eine effiziente numerische Implementierung der IGA Gegenstand aktueller Forschung, insbesondere da herkömmliche Gauss Quadraturregeln bei der IGA zu einem hohen Berechnungsaufwand führen können. Daher ist die Entwicklung von effizienteren Ansätzen notwendig, die speziell auf die Charakteristiken der IGA zugeschnitten sind. Reduzierte Quadraturegeln und Kollokationsverfahren sind vielversprechende Ansätze um dieses Ziel zu erreichen. Im Gegensatz zu Galerkin Formulierung basieren Isogeometrische Kollokationsansätze auf einer Diskretisierung der starken Form der betrachteten partiellen Differentialgleichungen.
Unter anderem konnte die sog. “Variationelle Kollokationsmethode” im Rahmen dieses Projekts entwickelt werden, welche eine Brücke schlägt zwischen Kollokations- und Galerkinverfahren. Ein wesentlicher Bestandteil dieses Konzepts ist die Berechnung von neuen Kollokationspunkten auf Basis der Superkonvergenz-Theorie, resultierend in einer signifikanten Verbesserung der Konvergenzraten. Darüber hinaus konnten diese Auswertepunkte auch als Basis für die Entwicklung einer neuen Quadraturregel genutzt werden.
Darüber hinaus wurden isogeometrische Kollokationsverfahren im Rahmen dieses Projekts auch zur Simulation von Kontaktprobleme und hyperelastischen Materialien angewandt. Neue erweiterte / hybride Methoden zur stabilen Behandlung von Neumann Randbedingungen wurden ebenfalls entwickelt. Desweiteren wurden gemischte isogeometrische Kollokationsverfahren, basierend auf einer Diskretisierung des Drucks oder der Spannung (zusätzlich zu den Verschiebungen) erfolgreich implementiert und zur Simulation von nahezu inkompressiblen und elastoplastischen Materialen angewandt.